In the present talk we are interested in a singular limit problem for a compressible Navier-Stokes-Korteweg system under the action of high rotation of the Earth. We study the incompressible and high rotation limits simultaneously. Moreover, we consider both the constant capillarity and the vanishing capillarity regimes. We will find that the limit velocity field is divergence-free. Moreover, we will completely characterize the equation satisfied by the limit density, which can be interpreted as a sort of stream-function for the limit velocity field. The results are based on suitable applications of the RAGE theorem.
In this work, we consider a class of second order abstract linear hyperbolic equations with infinite memory and distributed time delay. Under appropriate assumptions on the infinite memory and distributed time delay convolution kernels, we prove well-posedness and stability of the system. Our estimation shows that the dissipation resulting from the infinite memory alone guarantees the asymptotic stability of the system in spite of the presence of distributed time delay. The decay rate of solutions is found explicitly in terms of the growth at infinity of the infinite memory and the distributed time delay convolution kernels. An application of our approach to the discrete time delay case is also given. This is a joint work with Prof. Nasser-eddine Tatar, Department of Mathematics and Statistics, King Fahd University of Petroleum and Minerals (KFUPM), Saudi Arabia.
Un certain nombre d'applications suggère de considérer une équation des milieux poreux associée à une loi de pression non-locale et non-linéaire. Ainsi un certain nombre de variante non-locale de la très classique équation des milieux poreux ont récemment été introduites et étudiées. Pour l'une de ces variantes, j'expliquerai comment construire une solution, et ce pour une large classe de données initiales, puis comment construire des solutions auto-similaires et enfin comment montrer la vitesse de propagation finie du support de la donnée initiale. Ceci est un travail en collaboration avec Piotr Biler et Grzegorz Karch.
Récemment, nos connaissances sur la stabilité des ondes progressives périodiques ont connu une croissance rapide, principalement motivée par des applications à l'étude de certaines ondes de surface. Nous essaierons de passer en revue la théorie essentiellement complète disponible pour les systèmes paraboliques, et qui inclut la description de St Venant de la dynamique proche des rouleaux visqueux, et discuterons l'évolution linéarisée autour des ondes cnoidales de Korteweg--de Vries, qui modèlent en particulier les ondes de surface longues et de petite amplitude.
The spectral analysis of the compressible Euler equations is a key for a rigorous proof of the validity of sound-proof models for atmospheric models. Starting from an orthogonality result for the compressible eigenfunctions of a nonlinear Sturm-Liouville problem we prove Sobolev regularity of the eigenfunctions corresponding to internal waves and sound waves.
Un film liquide tombant, c'est-à-dire une couche mince de liquide s'écoulant le long d'une paroi sous l'effet de la gravité, peut se produire naturellement, par exemple sur un trottoir un jour de pluie, ainsi que dans un nombre de procédés technologiques, comme la séparation de l'air à l'aide de colonnes de distillation. Ces colonnes sont typiquement équipées de garnissages structurés servant à mettre en contact, au sein de petits canaux, un film de liquide ruisselant vers le bas et un gaz à contre-courant. La prédiction du transfert de quantité de mouvement, de masse et de chaleur entre ces deux phases est un enjeu important. Cependant, ces transferts sont très fortement modifiés par des ondes de surface qui se développent à l'interface liquide/gaz dû à l'instabilité de <
On s'intéresse à la modélisation des fluides supercritiques multi-espèces réactifs. Ces fluides font notamment intervenir des thermochimies non idéales et des flux de diffusion proportionnels aux gradients de potentiels chimiques. On étudie la structure du système d'équations aux dérivées partielles correspondant ainsi que la stabilité asymptotique de ces états d'équilibre. Les simulations numériques concernent les flammes d'hydrogènes transcritiques.
Dans ce travail, nous étudions la stabilisation exponentielle en dimension deux et trois des équations de Navier-Stokes dans un domaine borné Ω, autour d’un état d'équilibre donné, au moyen d'un contrôle frontière. Afin de déterminer la loi de contrôle, nous considérons un système étendu couplant les équations de Navier-Stokes avec une équation satisfaite par le contrôle sur la frontière du domaine. Alors que la plupart des approches traditionnelles appliquent un contrôle via une équation algébrique de Riccati ou via un opérateur de Stokes-Oseen par exemple, une méthode de Galerkin est proposée à la place dans cette étude. La méthode de Galerkin permet de construire le contrôle frontière et à l’aide de techniques d’estimation a priori de l'énergie, la décroissance exponentielle est obtenue. Ensuite un résultat de compacité permet alors de passer à la limite dans le système des solutions approchées.
L' Institut Camille Jordan accueillera du 19 au 23 mai 2014 le colloque Inter’Actions dédié aux intéractions entre les jeunes chercheurs et leurs domaines de recherches. Ce colloque s'intègre dans le cadre de la fédération Mathématiques Rhône-Alpes-Auvergne et tend à resserrer les liens entre les doctorants de ces différents laboratoires. Il s'agit de la deuxième edition de ce colloque qui avait eu lieu l'an dernier à Clermont-Ferrand.
Dans cet exposé, nous étudierons un modèle mathématique de corrosion. L'étude d'un tel modèle est un enjeu important puisque les phénomènes de corrosion interviennent par exemple au coeur des centrales nucléaires ou dans le stockage de déchets radioactifs. Le modèle étudié est un modèle de dérive-di usion. Par rapport au modèle de dérive-di usion ``classique'' utilisé dans la modélisation des semi-conducteurs, l'originalité de ce modèle de corrosion tient dans ses conditions limites. En eff et il s'agit de conditions de type Robin qui induisent un couplage supplémentaire fort des équations. Apres avoir décrit le modèle, nous montrerons comment obtenir l'existence de solution au niveau continu, puis nous étudierons la convergence d'un schéma volumes fi nis.
Je présenterai dans cet exposé un travail en collaboration avec Pierre Raphaël. Je m'intéresse à l'équation du flot de la chaleur harmonique, qui est la partie dissipative de l'équation de Landau Lifshitz. Certaines considérations physiques permettent de fixer comme cadre ``raisonnable'' de travail des applications du plan vers la sphère en dimension 3. Le problème dans un cadre général est encore très mal compris. C'est pourquoi on ne considère que des solutions ayant une symétrie importante, appelées solutions k co-rotationnelles, où k est le degré d'homotopie de la solution. Cette symétrie est préservée par le flot. Pour k>= 2, l'existence globales des solutions a été démontrée en 2008 par Guan, Gustafson, Nakanishi et Tsai. Avec Pierre Raphaël, nous avons obtenu une description fine de l'explosion en temps fini dans le cas de solution 1 co-rotationnelle, avec notamment, l'existence d'un ensemble discret de vitesses de concentration. De plus, pour la vitesse la plus lente, nous avons prouvé la stabilité du régime pour des perturbations de faible énergie, les autres vitesses correspondant à des états de plus en plus instables. Ainsi, après une longue présentation du problème, je montrerai comment la construction de la solution approchée permet d'obtenir les différentes vitesses d'explosion. Ensuite, je donnerai un argument formel permettant de comprendre l'instabilité du régime pour des vitesses élevées.
Une première partie de mon exposé sera consacrée aux EDP non linéaires liées aux processus de branchement. A partir de la construction des processus de branchement (de Markov) sur l'ensemble des configurations finies d'un l'espace d'état donné (si le processus de base est le mouvement brownien, on a une équation d'évolution non linéaire avec le gradient au carré) je montre que la solution de l'équation différentielle stochastique de fragmentation engendre un processus de Markov de fragmentation sur l'espace des dimensions de fragmentation. La première étape est de construire des processus de branchement, en utilisant des noyaux de branchement induits par la taux de fragmentation. Dans la deuxième partie je vais présenter une modélisation du déclenchement d'une avalanche dense (sols, neige ou autres géo-matériaux) sur une surface avec topographie. En partant d'un modèle d'écoulement de faible épaisseur d'un fluide visco-plastique sur une surface basale avec topographie j’introduis un critère déduit d'un problème d'optimisation, capable de distinguer si une avalanche se produit ou pas. Je propose aussi une stratégie numérique, sans maillage, pour résoudre le problème de charge limite et pour obtenir la fracture de déclenchement. L'approche numérique proposée est illustrée par la résolution de quelques problèmes modélisant le déclenchement des avalanches.
Swimming strategies at the microscopic scale involve different mechanisms to those at the human scale. At this scale, the flow is dominated by the viscosity effects of the water and becomes reversible. This feature, known as the scallop theorem needs to be circumvented in order to swim with strokes that produce a net motion of the swimmer. The talk proposes to give an overview of recent works on this topic. In particular, we will show how these problems sit at the intersection between fluid mechanics, control theory, theory of PDE and geometry.
Nous nous intéresserons à deux problèmes liés au contrôle des EDPs. Le premier concerne la stabilisation frontière de systèmes réversibles en temps et plus précisément un feedback explicite permettant d'obtenir des taux de décroissance arbitrairement grands. Nous verrons en quel sens le système en boucle fermée est bien posé puis nous étudierons le taux de décroissance de l'énergie. Le second problème peut-être résumé par la question suivante : étant donnée une corde vibrante dont on connaît la position en plusieurs instants, est-il possible de reconstruire la position et la vitesse initiales ? Nous verrons que la réponse dépend de certaines propriétés arithmétiques des intervalles entre les différents instants d'observation.
Les forces capillaires qui agissent sur la surface d’un fluide sont responsables de différentes instabilités. Je présenterai deux exemples de dynamique concernant des fluides en contact avec une surface solide. D’abord, l’évolution temporelle d’un filament liquide initialement à repos : la croissance d’ondes capillaires sur sa surface et la retractation des extrémités contribuent tous les deux à la dynamique. Je discuterai la dépendance de l’évolution temporelle et des états d’équilibre de l’angle de contact formé par le fluide avec le substrat. En suite, je montrerai la dynamique surprenante de coalescence de deux gouttes initialement à repos sur une surface super-hydrophobe. Pour un intervalle de densité et de viscosité, la goutte qui se forme réalise un mouvement orthogonal au substrat, dû à la conversion d’énergie de surface en énergie cinétique. Les résultats sont obtenus numériquement avec une approche de type interface diffuse (méthode du champ de phase). Les résultats de coalescence sont aussi comparés à des expériences menées sur une surface de Leidenfrost.