À venir
À venir
À venir
Si X est une variété algébrique sur un corps non archimédien complet, son analytifié à la Berkovich $X^{an}$ contient de nombreuses parties, les squelettes, ayant une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si X est intègre, si S est un squelette de $X^{an}$ et si f est une fonction rationnelle non nulle sur X, log |f| est bien définie sur S et sa restriction à S est linéaire par morceaux. Que dire de l’ensemble E des fonctions PL sur S obtenues de cette façon ? Je présenterai dans cet exposé un résultat issu d’un travail en commun avec E. Hrushovski et F. Loeser, qui assure que E est un groupe stable sous min et max, et est de type fini modulo les constantes pour les opérations (+,-, min, max).
À venir
En 1927 Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en montrant qu'un polynôme positif sur $\mathbb{R}^n$ est somme de carrés de fonctions rationnelles. Ce résultat marque le début du développement de l'algèbre réelle. Dans cet exposé on s'intéresse à la réciproque du 17ème problème de Hilbert dans un cadre général. Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$, on va décrire les lieux où la positivité des éléments de $A$ est équivalente à être une somme de carrés dans $K$. Lorsque $A$ est l'anneau de coordonnées d'une variété algébrique réelle irréductible affine $V$, ces lieux sont fortement liés aux singularités de $V$. Il s'agit d'un travail en commun avec Goulwen Fichou et Ronan Quarez.
Logarithmic-analytic functions are iterated compositions (from either side) of globally subanalytic functions (i.e. functions definable in the o-minimal structure $\R_{an}$ of restricted analytic functions) and the global logarithm. Their definition is kind of hybrid. From the viewpoint of logic, log-analytic functions are definable in the o-minimal expansion $\R_{an,exp}$ of $\R_{an}$ by the global exponential function; in fact they generate the whole structure $\R_{an,exp}$. But from the point of analysis their definition avoids the exponential function and should therefore also not exhibit properties of the function $\exp(−1/x)$ as flatness or infinite differentiability but not real analyticity. This seems to be obvious. But the problem is that a composition of globally subanaytic functions and the logarithm allows a representation by ’nice’ terms only piecewise. Moreover, the ’pieces’ are in general not definable in $\R_{an}$ but only in $\R_{an,exp}$. And the existing preparation results for log-analytic functions involve functions which are not log-analytic. But by elaborating on the preparation theorems one can identify situations where the preparation can be carried out inside the log-analytic category. And these situations are sufficient to obtain the following results: We show that the derivative of a log-analytic function is log-analytic. We prove that log-analytic functions exhibit strong quasianalytic properties. We establish the parametric version of Tamm’s theorem for log-analytic functions. It seems also to be obvious that log-analytic functions are polynomially bounded. This is indeed true in the univariate case. But, surprisingly, multivariate log-analytic functions can exhibit exponential growth. We give examples and present structural results on the growth.
Je vais montrer les caractères topologiques d'une variété complexe projective qui déterminent le degré de la variété duale.
Ce sont des caractéristiques d’Euler-Poincaré associées à la stratification de Whitney minimale de la variété.
Tous les termes utilisés seront expliqués.
Étant donné deux fonctions réelles $f$ et $g$, qui engendrent deux structures o-minimales, respectivement $M(f)$ et $M(g)$, on dira que $f$ est définissable à partir de $g$ si le graphe de $f$ appartient à $M(g)$. On peut considérer la non-interdéfinissabilité de deux fonctions o-minimales $f$ et $g$ comme une sorte d'indépendance fonctionnelle, qui généralise celle différentielle-algébrique. La motivation initiale de ce travail est la question suivante : soient $f$ la restriction à la demi-droite réelle ${ x: x>1}$ de la fonction $\zeta$ de Riemann et $g$ la restriction à la demi-droite réelle positive de la fonction Gamma d'Euler (deux fonctions o-minimales). Est-ce que $f$ est définissable à partir de $g$ ? Pour répondre (négativement) à cette question (et à d'autres questions dans le même esprit), nous montrons que l'on peut plonger le corps des germes de fonctions définissables dans une structure o-minimale $M$ engendrée par une classe quasi-analytique généralisée, dans un corps de séries logarithmico-exponentielles, et que l'image $F$ d'un germe $f$ par ce plongement est un développement trans-asymptotique de $f$ dans une échelle asymptotique appropriée. En étudiant les propriétés de tels objets formels $F$ (support, coefficients, convergence...) on peut déduire que certains germes réels ne sont pas définissables dans la structure $M$. (travail en cours avec J.-P. Rolin et P. Speissegger).
We state and prove a version of Kurdyka-Lojasiewicz inequality for a mapping definable in an o-minimal structure, with values in $\R^k$, $k>1$. It implies a uniform bound for the measure of submanifolds transversal to the fibers.
Motivés par les travaux de Batyrev sur la correspondance de McKay, Denef et Loeser ont défini une mesure motivique sur les variétés algébriques $X$ avec des singularités quotient, la mesure d'orbifold. Le volume de cette mesure est lié à la cohomologie orbifold de $X$.
Dans un travail en cours avec Michael Groechenig et Paul Ziegler nous étendons cette théorie aux quotients de variétés lisses par des groupes réductifs. Il n'y a pas d'analogue de la cohomologie d'orbifold connu en général, mais pour certaines classes d'espaces de modules, notamment pour des fibrés vectoriels sur une courbe, le bon analogue semble être la cohomologie dite BPS issue de la théorie de Donaldson-Thomas.
In this talk, I will show that smooth functions on convex bodies in Euclidean space, whose sequence of derivatives is dominated by a suitable given weight sequence of positive real numbers, have many polynomial-like properties. Let us call them “controlled differentiable functions” for brevity. Functions in quasianalytic Denjoy--Carleman classes are examples, but sometimes the results also apply in the non-quasianalytic setting.
I will introduce an integer, depending on the given weight sequence, the diameter of the domain, and the sup-norm of the function, which, in analogy to the polynomial degree, allows to express the polynomial-like behavior quantitatively. For instance, I will present a bound on the codimension one Hausdorff measure of the zero set and show that it can be locally parameterized by Sobolev functions. Moreover, I will discuss a Remez-type inequality and several applications for controlled differentiable functions. Many of the results depend only on the derivatives up to some finite order, which can be determined explicitly.
The local parameterization of the zero set by $W^{1,p}$ Sobolev functions is based on joint work with Adam Parusinski in which, for any smooth family of monic polynomials, we determined the optimal order of summability $p \ge 1$ (solely in terms of the degree) such that there is a $W^{1,p}$ choice of the roots.
Je présenterai une introduction à mes articles récents avec Armin Rainer sur la perturbation des polynômes d'une ou plusieurs variables, et avec Guillaume Rond sur la perturbation des opérateurs linéaires. En particulier, nous avons considéré avec A. Rainer les racines de polynômes complexes unitaires d'une variable dont les coefficients dépendent de manière lisse d'un paramètre réel t. Nous avons montré qu'une telle racine, si elle est continue en t, est nécessairement localement absolument continue et nous avons donné une estimation optimale de sa régularité de Sobolev.
Dans un article avec Guillaume Rond, nous avons montré qu’une famille analytique de matrices normales dépendant d'un multiparamètre peut être localement diagonalisée analytiquement si le discriminant de son polynôme caractéristique est à croisement normal. On a un résultat similaire pour la décomposition des valeurs singulières des familles de matrices arbitraires.
La théorie de la perturbation des polynômes et des opérateurs linéaires est motivée par la théorie des équations à dérivées partielles.
A result coming from Dulac, and proved independently by Écalle and Ilyashenko in the 80's, asserts that an analytic vector field in the real plane cannot have a sequence of limit cycles accumulating to a singular point. In this talk, we deal with this problem for analytic vector fields in dimension three, in a non-trivial but not too degenerated situation. Namely, the linear part at the singularity has two non-zero imaginary eigenvalues. We describe completely the distribution of all possible local cycles around the singularity, showing that there are no isolated ones in some neighborhood, which proves Dulac's property. Joint work with Nuria Corral and María Martín.
À venir
Je vais expliquer une nouvelle preuve d'un théorème de Gabrielov des années 70 concernant le rang d'un germe d'application analytique. Ceci nous permet d'obtenir un résultat plus général que le résultat original de Gabrielov. Je vais montrer ensuite comment cet énoncé nous permet de montrer que l'ensemble des points Nash d'un ensemble sous-analytique est lui-même un ensemble sous-analytique, résultat démontré en 90 par Pawlucki.
La Conjecture de Sard classique prévoit que l’image de toutes les courbes singulières partant d’un point fixé sur une variété équipée d’une structure sous-riemannienne est de mesure nulle. Nous discuterons dans cet exposé d’une conjecture plus faible portant uniquement sur les courbes singulières de rang minimal. Nous expliquerons comment ce problème est relié, dans le cas analytique réel, aux propriétés de certains feuilletages sous-analytiques et présenterons des résultats positifs dans le cas de feuilletages dit « splittable ». Ceci est tiré d’un travail en collaboration avec André Belotto et Adam Parusinski.
La Conjecture de Sard classique prévoit que l’image de toutes les courbes singulières partant d’un point fixé sur une variété équipée d’une structure sous-riemannienne est de mesure nulle. Nous discuterons dans cet exposé d’une conjecture plus faible portant uniquement sur les courbes singulières de rang minimal. Nous expliquerons comment ce problème est relié, dans le cas analytique réel, aux propriétés de certains feuilletages sous-analytiques et présenterons des résultats positifs dans le cas de feuilletages dit « splittable ». Ceci est tiré d’un travail en collaboration avec André Belotto et Adam Parusinski.
By clustering the polar curves of 2-variable function germs, in the Topological category, one may derive a bijective correspondence of a certain partition of polar quotients. In the case of the Lipschitz category, we explain how this bijective correspondence may be refined in terms of the gradient canyons. We will show how the tracking of the contact orders of the polar arcs and of the roots of a holomorphic 2-variable germ, induces a natural partition of the set of polar arcs into clusters, in such a way that the classical bijective correspondence of branches of topologically right-equivalent function germs induces a bijective correspondence of those clusters. (Clustering polar curves, Topology and its Applications 313 (2022) with P. Migus and M. Tibar.)