Liquid impact is a key issue in various industrial applications (seawalls, offshore structures, breakwaters, sloshing in tanks of liquefied natural gas vessels, wave energy converters, offshore wind turbines, etc). Numerical simulations dealing with these applications have been performed by many groups, using various types of numerical methods. In terms of the numerical results, the outcome is often impressive, but the question remains of how relevant these results are when it comes to determining impact pressures. The numerical models are too simplified to reproduce the high variability of the measured pressures. In fact, for the time being, it is not possible to simulate accurately both global and local effects. Unfortunately it appears that local effects predominate over global effects when the behaviour of pressures is considered. Having said this, it is important to point out that numerical studies can be quite useful to perform sensitivity analyses in idealized conditions such as a liquid mass falling under gravity on top of a horizontal wall and then spreading along the lateral sides. Simple analytical models inspired by numerical results on idealized problems can also be useful to predict trends. The talk is organized as follows: After an introduction on some of the industrial applications, it will be explained to what extent numerical studies can be used to improve our understanding of impact pressures. Results on a liquid mass hitting a wall obtained by various numerical codes will be shown.
Récemment, des couches très fines autour des structures tourbillonnaires ont été observées dans plusieurs régions océaniques. Ces couches sont quasi horizontales, elles ont une épaisseur de l’ordre de 10 mètres et une taille horizontale de l’ordre de 1 à 10 kilomètres. L'étude de la formation de ces couches conduit à un problème aux limites et à la résolution d'un problème aux valeurs propres généralisé. Les modes instables d'une lentille gaussienne anticyclonique dans un fluide continûment stratifié en rotation sont simulés numériquement. Le mode le plus instable est un mode lent, associé à une instabilité couche critique située à la périphérie du vortex.
On présentera deux modèles où de fortes oscillations peuvent induire sur le problème limite un gain de dissipation. Le premier concerne l'étude d'un fluide visqueux forcé par une source fortement oscillante. On perturbe une solution stationnaire à l'instant initial. On montre que le temps d'existence de la famille de solutions perturbées peut être minoré indépendamment de la taille de la perturbation. En particulier, on exhibe une solution approchée qui justifie que l'interaction d'oscillations peut se traduire au niveau macroscopique par la création d'une viscosité turbulente. Puis on développera un modèle de plasmas pour ITER avec collisions. Sous l'effet d'un champ magnétique, les particules tournent fortement autour des lignes de champ. Lorsque il devient très grand (les oscillations sont très rapides) le terme de collisions, qui dissipe uniquement en vitesse initialement, fait apparaître une dissipation en position.
Le problème de la maximisation des valeurs propres de Neunmann d'un domaine euclidien est très difficile. Pour un domaine du plan, la conjecture de Polya (1954) dit que les valeur propres mu_k de Neumann sont bornées supérieurement par 4k Pi. Dans cet exposé je présenterai une inégalité optimale pour la deuxième valeur propre non nulle mu_2. Je discuterai aussi la maximisation des valeurs propre de Steklov d'un domaine du plan, ainsi que le contrôle isopérimétrique de ce spectre en dimension supérieure à deux. Les travaux présentés sont des collaborations avec N. Nadirashvili, I. Polterovich, B. Colbois et A. El Soufi.
Upper bounds are obtained for the heat content of an open set D in a geodesically complete Riemannian manifold M with Dirichlet boundary condition on the boundary of D, and non-negative initial condition. We show that these upper bounds are close to being sharp if (i) the Dirichlet-Laplace-Beltrami operator acting in L2(D) satisfies a strong Hardy inequality with weight d^{-2}, (ii) the initial temperature distribution, and the specific heat of D are given by d^{-a} and d^{-b} respectively, where d is the distance to the boundary of D, and 1 < a < 2; 1 < b < 2.
On s'intéresse à trouver la constante optimale pour l'immersion de l'espace W^{2,1}_Delta(Omega) qui est l'ensemble des u dans W^{1,1}_0(Omega) tel que Delta u appartienne à L^1(Omega) dans L^1(Omega) où Omega est un domaine borné de R^n avec frontière de classe C^{1,1}. Ceci est équivalent à trouver la première valeur propre de l'opérateur 1-biharmonique avec conditions au bord de Navier (généralisées). Dans cet exposé on donne une interpretation du problème aux valeurs propres, on montre une inégalité du type Faber-Krahn, et, si Omega est une boule, on calcule explicitement la première valeur propre et la fonction propre associée. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Bernhard Ruf et Cristina Tarsi (Université degli Studi di Milano)
Cet exposé est consacré à l'étude de systèmes (elliptiques avec condition de Dirichlet sur le bord) comportant des oscillations à l'échelle microscopique. L'objectif est de caractériser la limite lorsque la taille caractéristique des oscillations tend vers 0, autrement dit d'homogénéiser les petites échelles. Suivant que les oscillations sont périodiques et concernent les coefficients du système, ou sont contenues dans la donnée sur le bord (systèmes de couche limite), leur effet sur la limite est très différent. Nous passerons en revue les résultats classiques sur les développements multi-échelles, et montrerons des résultats récents sur l'homogénéisation du problème de couche limite
Au cours de cet exposé, j'introduirai deux approches qui aboutissent à la résolution de modèles non-locaux pour l'analyse de la dynamique sédimentaire. La première portera sur l'équation d' A.-C. Fowler qui correspond à l'équation de Burgers visqueuse modifiée par un terme non-local qui peut être identifié à un Laplacien fractionnaire anti-diffusif. Dans la seconde approche, nous utilisons les principes de minimisation pour décrire l'évolution d'un lit érodable sous l'action de l'eau. Il sera intéressant de constater que cette seconde méthode peut être liée à la première.
Dans cette exposé, nous proposons une nouvelle formulation des problèmes d'estimation de flot optique et de stéréo-vision qui repose sur une analogie avec les problèmes de débruitage. Le caractère mal posé de ces problème nous conduit à la régularisation par variation totale que nous controllons grâce a des modèles de décomposition.
On dérive un modele Eulerien d'interfaces di ffuses pour l'interaction ``solide élasto-plastique - fluide compressible'' dans le cas de grandes déformations. Les applications du modèle aux problèmes d'impact seront présentées. Références 1. Favrie, N. and Gavrilyuk, S. (2011a) Mathematical and numerical model for nonlinear viscoplas- ticity, Phil. Trans. R. Soc. A, 369, 2864-2880. 2. Favrie, N. and Gavrilyuk, S. (2011b) Di use interface model for compressible fluid-compressible elastic-plastic solid interaction, J. Computational Physics (soumis).
We discuss linearized stable and finite Morse Index solutions of weakly nonlinear elliptic equations on all of R(N) or half spaces and discuss their application to bounded domain problems where either the diffusion is small or the solutions are large.
L'étude des sensibilités de la solution d'une EDP par rapport aux paramètres et à la donnée frontière est un problème important du point de vue théorique et pratique. Je m'intéresse en particulier à l'existence d'incertitudes d'origine statistique (donc aléatoire) sur les paramètres et la donnée frontière. Du point de vue théorique, ce travail est basé sur la théorie des erreurs par formes de Dirichlet, développé par Nicolas Bouleau, qui propose un cadre rigoureux pour étudier le problème de transmission des incertitudes aléatoires. La première partie de l'exposé sera donc une présentation générale de cette approche, je vais souligner les liens avec les statistiques ainsi que la mise en pratique des outils dans les cadre des EDP. Dans une deuxième partie je vais présenter un exemple simple, l'équation de la chaleur, et montrer les premiers résultats intéressants. Enfin, je vais présenter l'application dans le cadre des EDP non-lineaires en prenant le cas des équations de Saint-Venant.
Dans cet exposé, on s’intéresse à la propagation dans un gaz moléculaire de champs électromagnétiques intenses et courts. Dans ce régime, les modèles classiques perturbatifs de type onde/Schrödinger non-linéaires étant non valides, un modèle micro-macro Maxwell- Schrödinger été ́établi. Le champ électromagnétique est modélisé par les équations de Maxwell macroscopiques, couplées (via une approche Particle-In-Cell) avec des équations de Schrödinger quantiques dépendantes du temps. Cette description ab-initio non-perturbative de la réponse du gaz au champ, permet d’inclure précisément les non-linéarités et harmoniques d’ordre élevé, ainsi que la génération de plasma d'électrons libres. Après une discussion sur les propriétés mathématiques du modèle, on s’intéressera à sa (coûteuse) discrétisation, et aux moyens proposés pour optimiser cette discrétisation (adaptation de maillage par MRA, conditions limites artificielles, etc). Finalement, on présentera des résultats numériques illustrant le bon comportement du modèle (auto-focalisation, défocalisation dû au plasma/non-linéariés d’ordre élevé).