Depuis Peter Lax et Olga Oleinik (1957) l’espace BV ( functions with Bounded Variations) est le cadre mathématique le plus utilisé pour les lois de conservation. BV a l’avantage de contrôler la dérivée tout en permettant les ondes de chocs avec des traces de part et d’autre du choc. Les espaces de Sobolev n’ont pas ces avantages bien que Lions, Perthame, Tadmor, Tao aient obtenu des effets régularisant (non optimaux) pour les lois scalaires non linéaires dans ce cadre. On présentera des espaces BV généralisés comme les BV fractionnaires pour obtenir des effets régularisant optimaux, des blow-up ou des résultats d’existence pour des lois scalaires et un système hyperbolique issue de la chimie. Travaux en collaboration avec: Christian Bourdarias, Pierre Castelli, Pierre-Emmanuel Jabin, Marguerite Gisclon, Yue-Jun Peng.
In this talk, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. First, we present a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations which generalize the so called Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we study different asymptotic models in shallow waters. First, we fully justify on large times the Boussinesq equations, asymptotic model in a weakly nonlinear regime, and then we fully justify the Poincaré waves and the Ostrovsky equation.
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.
Dans ce travail en collaboration avec Jean-Michel Coron et Frédéric Marbach, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressible dans un domaine borné régulier dans le cas où une condition de glissement avec friction est prescrite sur le bord privé d’une partie non-vide. Cette sous-détermination exprime que l’on contrôle la partie restante du bord. Nous prouvons que pour toute donnée initiale d’énergie cinétique finie, pour tout temps positif, il existe une solution faible à la Leray qui s’annule au temps donné.
Nonlinear waves under ice plates are considered in this presentation. The ice plates floating on water can be modelled under certain conditions by thin elastic plates. Considering the influence of gravity and flexural effects a variety of two-dimensional nonlinear waves are discovered. The steady and unsteady solutions are analysed using weakly-nonlinear models, Hamiltonian formulations and numerical computations. Extensions including stratified fluids, three-dimensional effects will be discussed.
The accurate numerical simulation of large scale flows, together with the detailed modeling of flooding or drying of small-scale regions, is a difficult and a challenging problem. Adaptive mesh method allows, in principle, to solve accurately those scales. However in practice, on one hand, the lack of a priori or efficient a posteriori error estimates, especially for multidimensional hyperbolic problems, make the analysis harder. On the other hand, once a mesh refinement criterion is chosen, the difficult problem is to determine the mesh refinement threshold parameter which is certainly the most important part of the adaptive process. The smaller this parameter is, the higher the number of cells refined is at the expense of the computational cost. In this talk, we present a general procedure to determine automatically a mesh refinement threshold for any given mesh refinement criterion. To this end the decreasing rearrangement (distribution) function of the mesh refinement criterion is introduced to catch relevant scales. The efficiency of the automatic thresholding method is illustrated through the one and two dimensional Saint-Venant system.
Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Il s'agit également de l'interprétation probabiliste de l'équation des milieux granulaires. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.
On présentera des EDP modélisant l'adaptation d'une population sexuée à un (changement d')environnement. On propose d'étudier les états stationnaires de ces équations afin de quantifier la mal-adaptation de la population. La reproduction sexuée est modélisée par l'opérateur infinitésimal de Fisher, qui est non local, non linéaire, non monotone. Pour ces raisons l'existence d'éléments propres principaux ne peut pas être obtenue par la théorie de Krein-Rutman. Dans une seconde partie on expliquera comment, dans un certain rapport des échelles phénotypiques, la méthodologie de l'approximation WKB peut être adaptée à ces équations pour calculer des indicateurs de maladaptation. L'introduction d'une structure en âge fait apparaître des effets non linéaires (mur de mortalité).
A partir de l'exemple d'une recherche en biomath, nous justifierons l'utilité de l'identification pour un mathématicien appliqué, mais surtout de l'identifiabilité, moins connue. Nous essaierons de montrer que ses questions sont typiques de celles qu'un mathématicien appliqué se pose, et pas seulement en biomaths. Le domaine est à la confluence entre l'automatique, les statistiques et l'informatique fondamentale (ou l'algèbre différentielle). Nous donnerons alors le vocabulaire de base avec quelques exemples. Puis, nous relirons un article dans lequel certaines affirmations seront discutées. On verra l'apport des mathématiques pour vérifier/infirmer certaines affirmations.
For some differential equations the addition of a carefully chosen, random noise term can produce a regularizing effect (e.g. solutions are more regular, or restored uniqueness). I will first consider a few easy examples (ODEs) to introduce some of these regularizing mechanisms, then detail two cases where we have regularization for a PDE: the (stochastic) linear transport equation and a (stochastic) kinetic equation with force term. I will present some classical results for these two equations, related to well--posedness and regularity of solutions, that can be obtained under weaker hypothesis in the stochastic setting. For both equations, results are obtained through the analysis of the regularity properties of characteristics: they solve a stochastic differential equation (SDE), which is degenerate for the kinetic equation. We’ll see that characteristics are more regular than one could expect: this can be shown using the regularizing effects of an associated parabolic or elliptic (degenerate, for the kinetic equation) PDE. If time allows, I will conclude by discussing some ongoing work on regularization by noise (in particular, selection by noise) for a nonlinear PDE, the Burgers equation: These results are from joint works with Franco Flandoli, Benjamin Gess, Enrico Priola and Julien Vovelle.
This thesis is devoted to the mathematical analysis of some heterogeneous models raised by uid mechanics. In particular, it is devoted to the theoretical study of partial di erential equations used to describe the main models that we present in the following. Firstly, we are interested to study the motion of a incompressible newtonien uids in a basin with degenerate topography. The mathematical model studied derives from 3dincompressible Navier-Stokes equations. We are interested to prove that the Cauchy problem associated is well posed. The second part in my thesis is devoted to study a model that arises from dispersive Navier-Stokes equations (that includes dispersive corrections to the classical compressible Navier-Stokes equations). Our model is derived from the last model assuming that the Mach number is very low. The obtained system is called ghost e ect system, which is so named because it cannot be derived from the Navier-Stokes system of gas dynamics, while it can be derived from kinetic theory. The main goal of this part is to extend a result concerning the local existence of strong solution to a global in time existence of weak solutions. Finally, we are interested to prove certain functional inequalities who have noticeable interest in solving mathematical systems linked to uid mechanics.
La méthode des points vortex est une approche théorique et numérique couramment utilisée afin d'implémenter le mouvement d'un fluide parfait (en dimension deux), dans laquelle le tourbillon est approché par une somme de points vortex, de sorte que les équations d'Euler se réécrivent comme un système d'équations différentielles ordinaires. Une telle méthode n'est rigoureusement justifiée que dans le plan complet, grâce aux formules explicites de Biot-Savart. Dans un domaine extérieur, nous remplaçons également le bord imperméable par une collection de points vortex, générant une circulation autour de l'obstacle. La densité de ces points est choisie de sorte que le flot demeure tangent au bord sur certains points intermédiaires aux paires de tourbillons adjacents sur le bord. Dans cet exposé, nous proposons une justification rigoureuse de cette méthode dans des domaines extérieurs. L'une des principales difficultés mathématiques étant que le noyau de Biot-Savart définit un opérateur intégral singulier lorsqu'il est restreint à une courbe. Ce travail est en collaboration avec D. Arsénio (Paris Diderot) et E. Dormy (ENS Paris).
An inequality by P'olya establishes that the product between the torsional rigidity and the first Dirichlet Laplacian eigenvalue is bounded from above in the class of bounded sets with given measure. We investigate the sharpness of the constant appearing in P'olya's inequality and we try to improve it in a suitable class of sets. This is a joint work with M. van den Berg, V. Ferone and C. Nitsch.
In this talk a development of normal form methods for special classes of partial differential equations is presented. A basic application of the methods is splitting of slow and fast wave motions and finding of equations for the slow wave motion. The rotating shallow water model is the main example for the application of the general theory. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S157469090602003X
On présente dans cet exposé des méthodes de restauration d'images (inpainting) par des EDPs d'ordre deux et d'ordre quatre. L'approche adaptative permet de construire (et ajuster) les modèles proposés de manière dynamique a fin de rétablir au mieux les composantes géométriques d'une image endommagée (arêtes, coins, ...) tout en respectant les courbures. Ces méthodes consistent en une famille d'énergies discrètes, faciles à minimiser, qui $Gamma$-convergent vers des fonctionnelles de type Mumford-Shah et donnent lieu à des algortihmes efficaces.
La reformulation du système Euler 2d incompressible sous la forme d'une inclusion différentielle par De Lellis et Székelyhidi (cf. e.g. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 49, 347-375) a permis d'appliquer le h-principe à plusieurs familles d'équations de la mécanique des fluides en 2d. De telles techniques fournissent alors une myriade de solutions faibles, indiquant que le problème de Cauchy est mal posé au sens de Hadamard. Pour le système compressible isentropique 2d, des conditions suffisantes pour l'apparition de ces solutions non-standard'' peuvent s'exprimer sous la forme de relations algébriques (évoquant un peu le théorème de Lax), simplifiant beaucoup leur mise en œuvre. Ainsi, il est possible de construire explicitement, dans le cas $gamma=3$, des données initiales Lipschitz générant une infinité de solutions faibles après l'apparition du choc. Qu'en est-il de la situation sur le plan numérique ? En suivant des indications issues de certaines publications de P.L. Roe dans les années 90's, on observe que plusieurs schémas basés sur le splitting dimensionnel font apparaitre des tourbillons aux endroits où les oscillations doivent se développer dans les solutions non-standard exactes. Tout ceci semble être cohérent avec certaines caractéristiques spécifiques à ce type de solutionssurprenantes''. (joint work with Dr. Elisabetta Chiodaroli, with assistance from Drs. Denise Aregba and Roger Kappeli)
Dans ce travail, on s’intéresse à des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Elle est reformulée comme un problème extremal de valeur propre, dans lequel on cherche à minimiser la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant l’analyse de ces problèmes, tels que la caractérisation complète des solutions en dimension 1 ou pour des formes d’habitat particulières en dimension supérieure, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives. Il s'agit de travaux en cours, en collaboration avec Jimmy Lamboley (univ. Paris Dauphine), Antoine Laurain (univ. Sao Paulo), Grégoire Nadin (univ. Paris 6).