En tant que nouvel arrivant au laboratoire, je voudrais présenter lors de cet exposé des questions, des sujets de recherche qui m'intéressent. La question du temps nécessaire algorithmiquement pour l'évaluation de polynômes naturels semble fondamentale. Quelle est la meilleure façon de calculer un polynôme f(X_1,…,X_n) à partir des opérations arithmétiques basiques + et *? En fait, certains polynômes sont difficiles à calculer. Par exemple, évaluer le permanent d'une matrice revient à compter le nombre de mariages parfaits dans un graphe. Une autre façon de voir ce problème est celui de la possibilité d'exprimer le permanent comme déterminant d'une matrice, une question déjà soulevée par Pólya et Szegö en 1913. On commencera par une présentation de pistes de recherche actuelles en complexité arithmétique. On verra des relations avec des questions de géométrie algébrique (en particulier, en géométrie réelle) et les questions qui apparaissent - ou plutôt ressurgissent - dans ce domaine. Ainsi, de nombreuses propriétés des variétés réelles définies par des courbes creuses sont encore très mal connues. Je finirai par présenter mes derniers résultats : en particulier, je montrerai comment obtenir des bornes inférieures ``presque''-cubiques (et ainsi battre les bornes précédentes quadratiques) sur la taille des circuits arithmétiques de profondeur 3 calculant un polynôme donné.
We study isolated singularities of a space embedded in a smooth Riemannian manifold from a differential geometric point of view. While there is a considerable literature on bi-lipschitz invariants of singularities, we obtain a more precise (complete asymptotic) understanding of the metric properties of certain types of singularities. This involves the study of the family of geodesics emanating from the singular point. While for conical singularities this family of geodesics, and the exponential map defined by them, behaves much like in the smooth case, the situation is very different in the case of cuspidal singularities, where the exponential map may fail to be locally injective. We also study a mixed conical-cuspidal case. Our methods involve the description of the geodesic flow as a Hamiltonian system and its resolution by blow-ups in phase space. This is joint work with Vincent Grandjean.
Dans cet exposé, on donne quelques versions des inégalités de Lojasiewicz (du gradient et pour la fonction de distance) quand les fonctions considérées sont la fonction de la valeur propre maximale d'une matrice polynomiale symétrique et la fonction de la valeur singulière minimale d'une matrice polynomiale quelconque.
Je vais présenter un problème d'estimée locale en zéro dans des quotients d'anneaux de séries algébriques. La question consiste à relier l'ordre d'annulation d'un polynôme modulo un idéal au degré de ce polynôme. Nous considérerons aussi le cas de l'ordre d'une série algébrique. Finalement nous montrerons comment ces estimées locales permettent de ``contrôler'' la transcendance des solutions d'équations linéaires à coefficients séries algébriques, solutions pour lesquelles des contraintes de support sont imposées. Ce type d'équations apparaît naturellement en combinatoire ou en théorie des singularités.
La conjecture de Yano (1982) prédit les racines du polynôme de Bernstein générique d'un germe de courbe plane irréductible. Je vais expliquer les idées de la preuve dans le cas de deux paires de Puiseux et monodromie à valeurs propres distinctes. C'est un travail commun avec Enrique Artal Bartolo, Ignacio Luengo et Alejandro Melle-Hernandez (2016).
On montre que toute famille de singularités analytiques, réelles ou complexes, équisingulière au sens de Zariski, peut être trivialisée par un homeomorphisme semi-algébrique, arc-analytique, et analytique par rapport au paramètre. Cela montre en particulier la conjecture de fibration de Whitney : l’existence, pour toute variété analytique complexe, d’une stratification qui possède localement un feuilletage (w)-régulier. Une telle stratification peut être construite de manière algorithmique. (travail en collaboration avec Laurentiu Paunescu)
We prove that if a linear equation, whose coefficients are continuous rational functions on a nonsingular real algebraic surface, has a continuous solution, then it also has a continuous rational solution. This is known to fail in higher dimensions. (Joint work with K. Kurdyka)
J'expliquerai comment, dans un travail commun avec C. Miller, nous montrons que le nombre de points rationnels de hauteur au plus T, dans certaines courbes transcendantes, est borné par a.log^bT où a et b sont réels. Les courbes que nous considérons ne sont pas nécessairement o-minimales ni compactes.
Soit V une variété algébrique affine complexe. Le calcul exact des points critiques d'une fonction polynomiale f définie sur V est une routine centrale dans plusieurs algorithmes en géométrie algébrique réelle et en optimisation. En supposant que la cloture projective de V est lisse et sous des hypothèses de généricité sur f, nous montrons des bornes sur le degré du lieu formé par les points de V où le gradient de f appartient à la somme de l'espace normal à V et d'un espace linéaire générique. Ces bornes dépendent du degré de f et des degrés des classes polaires de la cloture projective de V. À l'aide de ces bornes et en utilisant un algorithme récent de Bank, Giusti, Heintz, Matera, Lecerf et Solerno, nous montrons qu'une paramétrisation rationnelle des points critiques de f sur V peut être calculée avec une complexité arithmétique essentiellement quadratique (à des facteurs logarithmiques près) en le nombre de points critiques complexes et polynomiale en les autres paramètres du problème. Travail commun avec Mohab Safey El Din.
Etant donnée une surface singulière (X,0) , John Nash a proposé l'étude de l'espace des arcs passant par la singularité; cet espace est de dimension infinie mais admet un nombre fini de composantes irréductibles. J. de Bobadilla et M.Pe Pereira ont démontré qu'il y avait autant de composantes irréductibles que de diviseurs irréductibles exceptionnels de la résolution (abstraite) minimale. Avec H.Mourtada, nous nous posons la question ``inverse'': peut-on caractériser /obtenir une résolution de la singularité via l'espace des arcs.Trouver une résolution abstraite via l'espace des arcs est finalement trop ambitieux. Par contre nous obtenons une résolution plongée torique des singularités simples via les espaces de jets (en utilisant un th de Ein-Lazarsfeld-Mustata qui relient les valuations divisorielles avec des composantes irréductibles des espaces des arcs.)
J'introduirai une version non archimédienne du link d'une singularité. Celle-ci sera un proche parent d'un espace analytique non-archimedien (à la Berkovich) sur un corps trivialement valué. Après avoir décrit la géométrie et la structure analytique de ce link, j'en déduirai des informations sur les résolutions des singularités des surfaces.
Deux germes de fonctions analytiques réelles blow-analytiquement équivalentes sont sous-analytiquement bi-Lipschitz équivalentes de contact.
In this talk, I present recent results of my thesis including the existence of Lipschitz stratifications of definable sets in polynomially bounded o-minimal structures and some properties related to Whitney stratifications of definable set.
Après un bref rappel des problèmes généraux en topologie des variétés algébriques réelles et de la méthode de construction du patchwork, on présentera une construction de surfaces algébriques réelles avec beaucoup d'anses dans (CP^1)^3.
Les E et G-fonctions de Siegel sont des séries entières solutions d'équations différentielles linéaires, avec des coefficients de Taylor algébriques vérifiant certaines conditions de croissance. Les ensembles de valeurs prises par ces fonctions aux points algébriques possèdent une riche structure arithmétique héritée des équations différentielles sous-jacentes. Je presenterai quelques résultats sur ces ensembles obtenus dans des travaux en commun avec Stéphane Fischler (Orsay) et, indépendamment, Julien Roques (Grenoble).
Le schéma des arcs tracés sur une variété n'est pas un objet de dimension finie. Le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazdhan dit cependant que la singularité en un arc non contenu dans le lieu singulier de la variété possède en un sens un modèle de dimension finie. Ce modèle devrait contenir des informations sur la singularité de l'origine de l'arc considéré. Nous présenterons des résultats et questions dans ce sens pour les singularités de courbe. C'est un travail en commun avec Julien Sebag.
Un polynôme est hyperbolique si toutes ses racines sont réelles. Un système polynomial est dit hyperbolique positif si toutes ses solutions complexes sont réelles et appartiennent à l'orthant positif. Lors de cet exposé, nous allons décrire une construction combinatoire de tels systèmes qui s'applique à un grand nombre de familles connues de polytopes. (basé sur un travail en commun avec Pierre-Jean Spaenlehauer, CR Inria Nancy).