J'expliquerai que dans R^n, le nombre moyen de composantes connexes d'une hypersurface algébrique réelle aléatoire de degr'e d est plus grand que exp(-70 exp(n)) sqrt d^n, pour d assez grand. La démonstration repose sur la résolution du dbar avec estimées L^2 de Hörmander, et c'est un travail en commun avec Jean-Yves Welschinger.
Le théorème d'Abhyankar-Jung affirme que les racines d'un polynôme à coefficients des séries formelles sur un corps de caractéristique nulle et dont le discriminant est un monôme multiplié par une unité sont des séries de Puiseux en plusieurs variables. Nous présenterons une généralisation de ce résultat pour les polynômes dont le discriminant est un polynôme quasi-homogène multiplié par unité. Nous rappellerons la construction de Newton-Puiseux pour la construction des racines d'un polynômes à coefficients dans le corps des racines en une variable.
Je vais présenter un travail en commun avec A. Chambert-Loir dans lequel nous développons, dans le cadre analytique p-adique, et plus précisément dans celui des espaces de Berkovich, un formalisme de type 'formes et courants' ressemblant à celui qui existe en géométrie complexe : nous définissons des formes de type (p,q), l'intégrale d'une forme de type (n,n) et l'intégrale de bord d'une forme de type (n-1,n) (où n est la dimension de l'espace ambiant) ; nous prouvons l'analogue de la formule de Stokes et de la formule de Poincaré-Lelong.... Nous utilisons de manière absolument cruciale une théorie des formes de type (p,q) sur R^n (que nous rapatrions ensuite dans le monde Berkovich) qui a été mise au point par Lagerberg avec des motivations tropicales ; je consacrerai une première partie de l'exposé à expliquer sa construction.
Le but de l'exposé est de faire une introduction élémentaire à l'exposé d'Antoine Ducros. Ainsi, guidé par un joli résultat de Sam Payne, nous commencerons tout d'abord par faire des rappels sur la géométrie et la topologie ultramétrique, puis nous introduirons les espaces de Berkovich et expliquerons ses liens avec la géométrie tropicale.
En 1974, P. Deligne établit l'existence d'une filtration par le poids sur la cohomologie rationnelle des variétés algébriques complexes. Un analogue de cette filtration pour les variétés algébriques réelles a été introduit par Totaro en 2002. Dans un article publié en 2011, C.McCrory et A. Parusinski en enrichissent la compréhension, notamment en la réalisant par un certain complexe de chaînes filtré, possédant des propriétés que l'on peut lire sur la suite spectrale induite. Considérons maintenant des variétés algébriques réelles munies d'une action algébrique de groupe. La fonctorialité du complexe de poids nous permet de le munir d'une action induite. Ce complexe filtré de poids avec action est la première pierre d'une filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action. On établira différentes propriétés de ces objets équivariants, notamment dans le cas du groupe à deux éléments. On verra ainsi qu'un résultat de ``découpage'' sur les variétés Nash implique un analogue de la suite exacte courte de Smith tenant compte de la filtration, que l'on peut utiliser pour extraire d'une certaine suite spectrale des invariants additifs sur les variétés algébriques réelles munies d'une involution algébrique.
Attention : horaire inhabituel !
Two subanalytic subsets of R^n are called s-equivalent at a common point P if the Hausdorff distance between their intersections with the sphere centered at P of radius r vanishes to order > s when r tends to 0. We proved that every s-equivalence class of a closed semianalytic set contains a semialgebraic representative of the same dimension. Results on approximation of subanalytic sets under suitable assumptions were obtained as well. (joint work with E.Fortuna, L.Wilson).
On définit une fonction qui à tout r-uplet de parties finies de Z^n associe un nombre entier positif ou nul. Cette fonction partage de nombreuses propriétés avec le volume mixte classique donnant une borne sur le nombre de solutions complexes de systèmes polynomiaux de polytopes de Newton donnés. On montre que notre volume mixte discrêt donne quant à lui une borne fine sur le nombre de solutions positives de systèmes polynomiaux tropicaux de supports donnés.
Dans cet exposé, nous proposerons d'abord un bilan des résultats connus sur les solutions non oscillantes de champs de vecteurs analytiques réels (i.e. des systèmes d'équations différentielles du 1er ordre) en lien avec la géométrie modérée (propriétés de finitude, structures o-minimales, corps de Hardy). Dans la deuxième partie, nous esquisserons deux résultats récents dans ce contexte: l'un en collaboration avec O. LeGal et P. Speissegger sur la dichotomie o-minimal/enlacement pour des systèmes d'équations différentielles linéaires; l'autre en collaboration avec O. LeGal et M. Matusinski sur la possibilité de trouver, pour des systèmes non-linéaires, des extensions du corps de Hardy des coefficients contenant certaines solutions.
Dans un travail en commun avec Adolfo Guillot on classifie les germes de connexions analytiques quasihomogènes sur les surfaces. On en déduit une classification des surfaces compactes admettant des connexions analytiques quasihomogènes (i.e. localement homogènes sur un ouvert dense, mais pas partout). J'expliquerai également nos motivations qui proviennent du théorème de M. Gromov de l'orbite dense-ouverte.
Dans ℝ, une façon classique de décrire le lieu singulier d'un ensemble algébrique ou analytique est de donner une stratification de Whitney. Cluckers-Comte-Loeser ont traduit cette notion dans ℚ_p. Dans mon exposé, je vais présenter un autre type de stratifications dans des corps valués, qui, dans un certain sens, est beaucoup plus fort. En effet, l'information contenue dans une tel ``t-stratification'' n'est pas purement locale, et en particulier, elle induit une stratification dans le corps résiduel. En choisissant bien le corps valué K dans lequel on travaille (avec corps résiduel ℝ), ceci peut être utilisé pour obtenir des stratifications de Whitney classiques à partir des t-stratifications dans K.
Attention, date inhabituelle, c'est un jeudi à 14h00 ! Je présenterai les résultats des travaux avec Xavier Gomez-Mont et Luis Giraldo sur l'indice GSV des champs de vecteurs sur les hypersurfaces réelles singulières. L'indice GSV généralise l'indice de Poincaré-Hopf sur des hypersurfaces singulières. Je parlerai surtout de comment on peut le calculer à l'aide de signatures de certaines formes bilinéaires définies sur des algèbres locales.
I will describe how to construct Hrushovski-Kazhdan style integration in real closed (valued) fields. Of course all the real closed fields that we shall consider are non-archimedean. A typical example is R((Q)). The setting is based on early work by van den Dries-Lewenberg on T-convex theories. It works for any polynomial-bounded o-minimal expansion of the theory of real closed fields.
En 1974, P. Deligne établit l'existence d'une filtration par le poids sur la cohomologie rationnelle des variétés algébriques complexes. Un analogue de cette filtration pour les variétés algébriques réelles a été introduit par Totaro en 2002. Dans un article publié en 2011, C.McCrory et A. Parusinski en enrichissent la compréhension, notamment en la réalisant par un certain complexe de chaînes filtré, possédant des propriétés que l'on peut lire sur la suite spectrale induite. Considérons maintenant des variétés algébriques réelles munies d'une action algébrique de groupe. La fonctorialité du complexe de poids nous permet de le munir d'une action induite. Ce complexe filtré de poids avec action est la première pierre d'une filtration par le poids équivariante pour les variétés algébriques réelles avec action. On établira différentes propriétés de ces objets équivariants, notamment dans le cas du groupe à deux éléments. On verra ainsi qu'un résultat de``découpage'' sur les variétés Nash implique un analogue de la suite exacte courte de Smith tenant compte de la filtration, que l'on peut utiliser pour extraire d'une certaine suite spectrale des invariants additifs sur les variétés algébriques réelles munies d'une involution algébrique.
La structure obtenue en ajoutant au corps des réels toutes les fonctions analytiques restreintes et toutes les fonctions puissance'' est o-minimale. C'est aussi le cas de celle obtenue en ajoutant au corps des réels toutes les fonctions analytiques restreintes et la fonction exponentielle. La première définit strictement moins d'ensembles que la seconde. Je discuterai d'une conjecture stipulant la non-existence d'une structureintermédiaire'': définissant strictement plus d'ensembles que la première mais strictement moins que la seconde.
This is a joint work with Krzysztof Kurdyka and Adam Parusinski. We say a map f : Rn,0 → Rp is blow-analytic ([2]) if there is a composition σ : M → Rn of locally finitely many blow-ups so that f ◦σ is analytic. We say a map f : Rn,0 → Rp is arc-analytic ([3]) if f◦α is analytic for any analytic map α : R,0 → Rn,0. A blow-analytic map is clearly arc-analytic. It is known that ([1]) a semi- algebraic, arc analytic map is blow-analytic. If a bi-Lipschitz subanalytic homeomorphism is arc-analytic, then the inverse is arc-analytic ([4]). Let us consider a semi-algebraic homeomorphism h : Rn,0 → Rn,0. We show the following conditions are equivalent. • h is arc-analytic and h−1 is Lipschitz. • h−1 is arc-analytic and h is Lipschitz. The key step is to show that det(dh) is bounded away from infinity and zero. To show this, we need (at this moment at least) to compare virtual Poincare polynomials (or motivic measures) of partitions of arc space L(Rn, 0) with respect to certain Nash modification which sends everything normal crossing. In the talk, we describe the detailed proof of the following easier version: A (bi-)blow-analytic homeomotphism is bi-Lipschitz if it is Lipschitz and semi-algebraic.
Let X and Y be nonsingular real algebraic varieties. A regulous map from X into Y is a continuous map, which is also rational. Such maps form an intermediate class between regular and semi-algebraic maps, and have some remarkable properties. In particular, they are very usefull in the study of pre-algebraic and algebraic vector bundles. For example, one can show that every pre-algebraic vector bundle on X becomes algebraic after finitely many blowin-ups. Consequently, the Stiefel-Whitney classes of pre-algebraic real vector bundles on X are algebraic.
Il sera question du rôle unificateur de l'algèbre réelle eu égard à deux Positivstellensatze classiques : celui de Riesz et Fejer et celui de Quillen. Au titre d'application de ce cadre théorique abstrait, nous proposerons une classification des sous-variétés algébriques réelles de l'espace affine complexe au moyen d'un nouvel invariant : leur complexité hermitienne. De nombreux exemples de degré faible et de dimension faible seront donnés.
Un polynôme mixte introduit par Mutsuo Oka est un polynôme en des variables complexes et leurs conjugées.Dans cet exposé, on considère d'abord une condition de régularité à l'infini qui donne une approximation de l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte. En particulier, je vais expliquer un résultat pour les polynômes mixtes non-dégénérés qui généralise un théorème de Néméthi et Zaharia.En supposant quelque déformation spéciale, on arrive un résultat de la stablité de monodromie pour une famille de polynômes mixtes.