On étudie la version réelle suivante d'un théorème célèbre d'Abhyankar-Moh : quelles applications rationnelles de la droite affine dans le plan affine, dont le lieu réel est un plongement fermé non singulier de R dans R^2, sont équivalentes, à difféomorphisme birationnel du plan près, au plongement trivial ? Dans ce cadre, on montre qu’il existe des plongements non équivalents. Certains d’entre eux sont détectés pas la non-négativité de la dimension de Kodaira réelle du complémentaire de leur image. Ce nouvel invariant est dérivé des propriétés topologiques de « faux plans réels » particuliers associés à ces plongements. (Travail en commun avec Adrien Dubouloz.)
Let $R$ be a real closed field. We prove that if $R$ is uncountable, then any separately Nash (resp. arc-Nash) function defined over $R$ is semialgebraic (resp. continuous semialgebraic). To complete the picture, we provide an example showing that the assumption on $R$ to be uncountable cannot be dropped. Moreover, even if $R$ is uncountable but non-Archimedean then the shape of the domain of a separately Nash function matters for the conclusion. For $R = R$ we prove that arc-Nash functions coincide with arc-analytic semialgebraic functions. Joint work with W. Kucharz and A. El-Siblani.
In 1979 O. Zariski proposed a general theory of equisingularity for algebraic or algebroid hypersurfaces over an algebraically closed field of characteristic zero. It is based on the notion of dimensionality type that is defined recursively by considering the discriminants loci of subsequent ``generic'' projections. The singularities of dimensionality type 1 are isomorphic to the equisingular families of plane curve singularities. In this talk we consider the case of dimensionality type 2, the Zariski equisingular families of surface singularities in 3-space. Using an approach going back to Briançon and Henry, we show that in this case generic linear projections are generic in the sense of Zariski (this is still open for dimensionality type greater than 2). Over the field of complex numbers, we show that such families are bi-Lipschitz trivial, by construction of an explicit Lipschitz stratification. (Based on joint work with L. Paunescu.)
Cet exposé est une introduction élémentaire aux espaces de Finsler qui constituent la généralisation la plus naturelle de la géométrie riemannienne. Après une présentation des principales propriétés de la géométrie de Finsler, nous verrons à travers quelques exemples comment celle-ci apparaît dans diverses situations
En 1933 Derrick Lehmer propose une méthode pour trouver de grands nombres premiers dans des suites récurrentes linéaires ayant comme ingrédients principaux des polynômes à coefficients entiers de très petite mesure de Mahler. Le problème de Lehmer est de trouver de tels polynômes de mesure < 1.1762. Ce nombre, dit nombre de Lehmer, est resté la plus petite valeur connue. La Conjecture de Lehmer stipule qu'il n'en existe pas de mesure arbitrairement proche de un. On présentera les fonctions analytiques (déterminants de Fredholm généralisés, fonctions zêta dynamiques) du système dynamique de numération de Rényi-Parry en base entier algébrique variable (beta-shift), pour montrer comment certaines propriétés de ces fonctions donnent des points d'attaque de cette Conjecture, et la fracturabilité des polynômes minimaux de ces bases. On fera le lien avec l'algorithme de Schur développé par Dufresnoy, Pisot, Amara, Bertin, pour les plus petits nombres de Pisot. On évoquera le problème des valeurs d'adhérence (Deninger, Rodriguez-Villegas) de l'ensemble de mesures de Mahler de nombres algbériques dans ce contexte.
Dans un article de 1996, van den Dries et Miller conjecturent que la structure R_{an, x^R} obtenue par adjonction des puissances réelles aux sous-analytiques (globaux) est maximale parmi les réduites polynomialement bornées de la structure R_{an, exp} obtenue en ajoutant l'exponentielle (non restreinte) aux sous-analytiques. On montre un analogue polynomialement borné de cette conjecture. Plus précisément, étant donné L un sous corps de R et S une structure polynomialement bornée, la structure S_{x^L} (obtenue en ajoutant à S les puissances réelles avec exposant dans L) est maximale parmi les réduites de S_{x^R} (obtenue en ajoutant toutes les puissances réelles à S) ayant L comme corps d'exposants. Autrement dit, si X est un ensemble que l'on peut définir à l'aide de S et de puissances réelles, seules les puissances qui se redéfinissent depuis S et X sont nécessaires pour définir X; les autres exposants, cachés dans la définition de X, peuvent s'éviter. On déduit le corollaire suivant qui répond, au niveau des fonctions d'une variable, à une généralisation de la conjecture de van den Dries et Miller: si f:R->R est définissable dans S_{exp} et si S_{f} est polynomialement bornée de corps d'exposants L, alors f est en fait définissable dans S_{x^L}. (Travail commun avec G. Jones)
I will discuss joint work with Harry Schmidt in which we give an effective version of a result of Bertrand, Masser, Pillay and Zannier on families of multiplicative extensions of an elliptic curve. In certain cases we obtain extra uniformity. The methods involve pfaffian functions. In particular, previous work with Schmidt on pfaffian definitions of elliptic functions plays a key role.
We propose a new mathematical and computational tool for infering the geometry of shapes known only through approximations like triangulated or digital surfaces. Its originality is to decouple the positionof the shape boundary from its normal vector field. To do so, we extend a classical tool of geometric measure theory, the normal cycle, so that it takes as input not only a surface but also a normal vector field. We formalize it as a current in the Grassmannian Gr(2;R3). By choosing then adequate differential forms, we define geometric measures like area, mean and Gaussian curvatures. We then show the stability of these measures when both position and normal input data are approximations of the underlying continuous shape. As a byproduct, our tool is able to correctly estimate curvatures over polyhedral approximations of shapes, even when their natural normal are not correct (e.g. the Schwarz lantern, digital surfaces), as long as an external convergent normal vector field is provided. Finally, the accuracy, convergence and stability under noise perturbation is evaluated experimentally onto digital surfaces.
The theory of fewnomials seeks quantitative bounds on polynomial systems in terms of the number of nonzero monomials occurring in the system. These bounds can be of different nature. The first focus of the fewnomial theory was to find bounds for the number of real solutions of multivariate sparse systems. Nevertheless, one can also ask for bounds on the maximal multiplicity of a complex solution to a sparse polynomial system. In this work, we study bivariate systems defined by two curves. We consider a mixed model in which one curve has a bounded number of monomials, while the other has a bounded degree. We show that the intersection multiplicity of any isolated solution of such system is polynomially bounded by these two parameters, provided that the solution has nonzero coordinates. This is similar to the real case, since an analogous bound is known for the number of real solutions of these types of systems. We also discuss the connections between sparse polynomials and algebraic complexity theory. This is joint work with Pascal Koiran.
On introduit de nouveaux groupes de Kähler, compactifiant les groupes modulaires et sur lesquels les systèmes locaux de TQFT se prolongent. Ceci permet notamment de montrer que les surfaces algébriques introduites il y a 20 ans par Bogomolov-Katzarkov pour fournir des contre-exemples à la conjecture de Shafarevich de convexité holomorphe vérifient cet énoncé sauf dans des cas résiduels. Travail en cours avec Louis Funar
La géométrie Lipschitz est une branche de la théorie des singularités qui étudie les données métriques d'un germe d'espace analytique complexe et l'invariance de celles-ci à homéomorphisme bi-Lipschitz près. Après en avoir introduit les bases, je vais parler d'une nouvelle approche de l'étude de ces invariants, et en particulier des taux de croissance Lipschitz internes, basée sur la combinatoire d'un espace de valuations (l'entrelacs non archimédien - à la Berkovich - de la singularité). Je vais décrire précisément la structure métrique interne d'un germe de surface singulière complexe en montrant que ses taux de croissance déterminent et sont déterminés par des données géométriques globales : la topologie du germe, ses sections hyperplanes et ses courbes polaires génériques. Ceci est un travail en commun avec André Belotto et Anne Pichon.
Travail en commun avec J.P. Monnier et R. Quarez. La normalisation faible d'une variété algébrique complexe est une variété intermédiaire entre la variété et sa normalisation, qui est en bijection avec la variété de départ. On développe une notion analogue pour les variétés algébriques réelles en s'appuyant sur l'anneau des fonctions rationnelles continues.
à venir
Le problème d'apprentissage par renforcement (deep learning) des réseaux de neurones artificiels multicouches a suscité beaucoup d'intérêt ces derniers temps d'un point de vue mathématique et expérimental. La méthode de rétropropagation du gradient (backpropagation), peut être interprétée ici comme la solution numérique d'un système différentiel défini par le champs de gradient d'une fonction analytique réelle. Nous discutons des avantages et inconvénients de cette approche. Ensuite, grâce à l'extension de l'espace des configurations, nous serons amener à étudier un système différentiel nouveau, admettant des intégrales premières simples et une déformation dissipative qui possède un attracteur global. La discrétisation de ce nouveau système sur des exemples, montrent que nous parvenons à une méthode plus efficace pour l'apprentissage de certain types de réseaux, par rapport à la méthode de rétropropagation conventionnelle. A. Tsygvintsev, ``On the overfly algorithm in deep learning of neural networks'', Applied Mathematics and Computation 349 (2019) 348–358
J'expliquerai comment, suivant une idée remontant au moins à Bombieri et Pila, on peut trouver une courbe algébrique plane A qui contient tous les points rationnels (de hauteur bornée) d'une courbe plane transcendante X donnée. Si le temps le permet j'expliquerai comment on peut ensuite trouver des conditions sur f, quand X est le graphe de f, pour que l'intersection de A et de X soit un nombre de points polynomialement borné en le degré de A. --
Je vais présenter une borne pour le nombre de F_q[t]-points de degrés bornés dans une variété définie sur Z[t], uniforme en q. Cela généralise un résultat de Sedunova pour q fixé. La preuve repose sur des paramétrisations uniformes non-archimédiennes à la Yomdin-Gromov . Celles-ci généralisent les paramétrisations de Cluckers-Comte-Loeser. C’est un travail en commun avec Raf Cluckers et François Loeser.
Travail en collaboration avec Marta Agustín Vicente. L'objet de cet exposé est l'étude des nombres de Betti de la cohomologie d'intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d'une action d'un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d'éventails divisoriels (notion généralisant le passage d'un éventail de cones rationnels à une variété torique). Cette description encode la donnée d'un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d'une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l'application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l'eventail divisoriel associé.
Les E-fonctions sont des séries entières à coefficients de Taylor algébriques à l'origine (vérifiant certaines conditions de croissance) et solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Siegel les a introduites en 1929 dans le but de généraliser les propriétés diophantiennes de la fonction exponentielle, qui prend une valeur transcendante en n'importe quel point algébrique non-nul. La situation est plus compliquée en général car une E-fonction peut parfois prendre une valeur algébrique quand elle est évaluée en un point algébrique non-nul. Dans cet exposé, je commencerai par présenter plusieurs résultats diophantiens classiques sur les E-fonctions (Siegel-Shidlovskii, André, Beukers). Puis je présenterai un algorithme qui, étant donnée une E-fonction f(z) en entrée, produit la liste finie des nombres algébriques A tels que f(A) soit également algébrique. C'est un travail en commun avec Boris Adamczewski (CNRS et Université Lyon 1).
La dimension de l'espace des morphismes d'une courbe vers une variété rationnellement connexe augmente avec le degré. Dans certains cas, si on fait tendre ce degré vers l'infini certains invariants se stabilisent. Il est donc naturel de vouloir étudier de manière asymptotique cet espace de morphismes. On voit alors apparaître des principes d'équidistributions. Néanmoins, ces principes sont battus en brèche lorsque le morphisme est factorisable au travers de certains morphismes de variétés. Des invariants introduits par Manin dans un contexte arithmétique permettent de mieux comprendre ce phénomène.
Nous nous plaçons dans le contexte de la résolution à la Puiseux d’équations polynomiales en plusieurs variables. Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux multivariée algébrique (sur $K(x_1,....,x_r)$ le corps des fonctions rationnelles à r variables) d’une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants : - étant donnée une équation polynomiale $P(x_1,....,x_r,y)=0$, donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux $y(x_1,....,x_r)$ solution en fonction des coefficients de l’équation ; - étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs variables de notre travail sur les mêmes questions pour le cas monovarié. Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).