Séminaire de l'équipe
Logique, Informatique et Mathématiques Discrètes

TBA

We argue in favor of the following thesis: there is an intric link between the computation we can unwing from classical proofs and parallel computations. We introduce a model for computations extracted from classical proofs based on parallel computations and on the concept of learning in the limit. The aim of our research is designing parallel extensions of the existing continuation languages.

Dans les années quatre-vingt-dix, on a remarqué ce que l'isomorphisme de Curry-Howard peut être étendu à la logique classique. De nombreux calculs ont été développés pour constituer la base de cette extension. On étudie dans cette thèse quelques uns de ces calculs.
On étudie tout d’abord le lambda-mu-calcul simplement typé de Parigot. Parigot a prouvé par des méthodes sémantiques que son calcul est fortement normalisable. Ensuite, David et Nour ont donné une preuve arithmétique de la normalisation forte de ce calcul avec la règle mu' (règle duale de mu). Cependant, si l'on ajoute au lambda-mu-mu'-calcul la règle de simplification rho, la normalisation forte est perdue. On monte que le mu-mu'-rho-calcul non-typé est faiblement normalisable et que le lambda-mu-mu'-rho-calcul typé est aussi faiblement normalisable. De plus, on examine les effets d'ajouter quelques autres règles de simplification. On établit ensuite une borne de la longueur des séquences de réduction en lambda-mu-rho-theta-calcul simplement typé. Ce résultat est une extension de celui de Xi pour le lambda-calcul simplement typé. Enfin, on présente une preuve arithmétique de la normalisation forte du lambda-calcul symétrique de Berardi et Barbanera.

Des familles inductives de types de données servent bien à représenter le lambda-calcul: le paramètre de la famille décrit l'ensemble de noms de variables libres admises, et le changement du paramètre au cours de la récurrence reflète la génération de noms pour les variables liées. Cette représentation satisfait les propriétés de base de la substitution, dictées par la théorie des catégories. C'est bien connu.
On veut aller plus loin: On encapsule des sous-expressions de lambda-termes comme si elles n'étaient que des noms de variables libres. Ceci donne le lambda-calcul avec aplatissement explicite (une forme de substitution explicite). Sa représentation par une famille inductive requièrt des principes d'induction qui ne sont offertes par aucun assistant de preuves, or elles pouvaient être encodées dans Coq. Là, déjà la notion d'une occurrence libre d'une variable est un défi pour la conception mathématique.
Heureusement, la vérification entière se fait dans Coq, le plus grand problème étant un affaiblissement de la règle que la substitution qui remplace chaque variable par le terme qui consiste de cette variable n'a aucun effet. En plus, toute notre théorie axiomatique est justifiée dans le calcul des constructions inductives avec insignifiance des preuves.

We introduce a new curvature estimator based on global optimisation. This method called Global Min-Curvature exploits the geometric properties of digital contours by using local bounds on tangent directions defined by the maximal digital straight segments. The estimator is adapted to noisy contours by replacing maximal segments with maximal blurred digital straight segments. Experimentations on perfect and damaged digital contours are performed and in both cases, comparisons with other existing methods are presented.

We define (with machine-checked proofs in Coq) a modular operational semantics for Concurrent C minor---a language with shared memory, spawnable threads, and first-class locks. By modular we mean that one can reason about sequential control and data-flow knowing almost nothing about concurrency, and one can reason about concurrency knowing almost nothing about sequential control and data-flow constructs. We present a Concurrent Separation Logic with first-class locks and threads, and prove its soundness with respect to the operational semantics. Using our modularity principle, we proved the sequential CSL rules (those that are inherited from sequential Separation Logic) simply by adapting Appel & Blazy's machine-checked sequential-separation-logic soundness proofs with minimal changes. Our Concurrent C minor operational semantics is designed to connect to Leroy's optimizing (sequential) C minor compiler; we propose our modular semantics as a way to adapt Leroy's compiler-correctness proofs to the concurrent setting. Thus we will obtain end-to-end proofs: the properties you prove in Concurrent Separation Logic will be true of the program that actually executes on the machine.

Une manière de stocker de manière économe un gros objet géométrique discret (images 3D acquises expérimentalement etc.) est de le vectoriser. Une façon de procéder est de le décomposer en plans discrets (approximations de plans euclidiens). Pour cela, un problème crucial est celui de la reconnaissance de plan : déterminer si un ensemble discret est ou non inclus dans un plan discret. Nous présentons une approche originale, qui généralise une approche similaire pour le cas de la reconnaissance de droites. Plus précisément, on montre comment calculer un développement en fraction continues multi-dimensionnel du vecteur normal d'un plan discret simplement en lisant les configurations locales de ce plan. Ce procédé peut alors être étendu à des ensembles discrets plus généraux, bien qu'ils n'aient pas forcément de vecteur normal. Les développements de plans possèdent cependant des propriétés qui permettent finalement de les reconnaître.

La correspondance de Curry-Howard permet d'interpréter chaque démonstration mathématique comme un programme réalisant une certaine spécification (déduite de la formule démontrée). Mais que se passe-t-il quand la démonstration fait appel à des hypothèses expérimentales - par exemple des lois de la physique?

Dans cet exposé, je me propose d'étudier la frontière entre le raisonnement mathématique et les hypothèses empiriques sur lesquelles reposent les sciences expérimentales. Pour cela, je partirai d'un problème soulevé par le philosophe et épistémologue Karl R. Popper lié à l'utilisation des formalismes mathématiques les plus abstraits dans un cadre empirique. Je montrerai alors comment les techniques modernes de réalisabilité permettent de résoudre ce problème, et suggèrent ainsi des pistes inédites pour combiner de manière effective le raisonnement mathématique avec les protocoles expérimentaux.

A gentle introduction to categorical models of dependent type theory. As a warm up, Richard will explain the interpretation in locally cartesian closed categories (LCCCs), and why it necessarily leads to extensional models of type theory. Then, he will, rather informally, try to explain why models of intensional type theory should look like weak omega categories (read the ordinal ``omega'').

La complexité de l'étude formelle des protocoles cryptographique se situe à plusieurs niveaux. Il faut d'abord modéliser les communications qui ont lieu entre les participants, puis définir précisément les propriétés que l'on souhaite vérifier. Celles-ci peuvent être assez simples à exprimer, comme les propriétés de secret, ou très complexes, comme les propriétés de résistance à la coercition dans les protocoles de vote. Le pi-calcul appliqué est de plus en plus utilisé pour formaliser des protocoles cryptographiques. Il étend le pi-calcul traditionnel en permettant aux processus de manipuler aisément des termes dotés d'une théorie équationnelle. On peut par exemple y inclure des primitives pour le chiffrement ou la signature de message, la création de paires de clés privées/publiques, ou toute autre fonction utile pour le protocole à formaliser. Différentes équivalences permettent ensuite de comparer les processus, dont l'équivalence statique qui, intuitivement, exprime ce qu'un attaquant peut déduire d'un protocole à une étape donnée de son exécution. Pour écrire les propriétés à vérifier sur ces protocoles, on a usuellement recours à différentes logiques, telles que les logiques de Hennessy Milner, de Cardelli-Gordon, et de Caires. L'une de ces logiques est la logique spatiale, qui permet de décrire non seulement les communications dont est capable un processus, mais aussi leur localisation au sein de celui-ci. Ceci permet par exemple de distinguer les différents participants d'un protocole. Cette logique apparaît donc comme un point de départ pertinent pour l'étude de protocoles cryptographique. Le but de ce travail était d'adapter la logique spatiale au traitement du pi-calcul appliqué et d'étudier son expressivité, notamment en termes de propriétés de secrets, sécurité, déductibilité, etc. Nous introduirons tout d'abord la logique spatiale du pi-calcul appliqué que nous avons définie, avant de présenter les résultats théoriques d'expressivité obtenus dans ce nouveau cadre (intensionalité, élimination des quantificateurs, ...), qui rejoignent ceux déjà connus pour le pi-calcul. Enfin, nous donnerons quelques intuitions concernant les propriétés de sécurité et de secret qu'il est possible d'exprimer au sein de la logique, notamment en donnant des formules qui caractérisent l'équivalence statique.

Dans cet exposé, nous démontrerons le résultat d'indécidabilité obtenu par R. Berger en 1964 sur les pavages : savoir, étant donné un jeu fini de tuiles de Wang, s'il existe un pavage valide du plan par ces tuiles est indécidable. Après une brève discussion sur différentes façons de définir des jeux de tuiles et les pavages du plan engendrés, nous nous intéresserons à la problématique de l'apériodicité, introduite par H. Wang. Dans l'esprit des constructions originelles de R. Berger et R. M. Robinson, nous construirons un jeu de tuiles apériodique et nous montrerons comment ce jeu de tuiles peut être étendu pour générer les pavages limites de n'importe quelle substitution 2x2. Fort de cette construction, nous pourrons calculer dans les pavages et obtenir les résultats d'indécidabilité annoncés.

In this talk, I will present our work in which we are trying to make a connection between formal and natural languages. We aim to develop tools and resources capable of translating between natural languages and formal languages. I will present our attempts in translating mathematical proofs written in natural language into formal proofs. The implementation of our work is based on the Grammatical Framework (GF). GF is a grammar formalism based on type theory, which provides a special purpose language for defining grammars, and a compiler for this language. Further I will give an overview of the future work i.e. Checking formal software specifications with the specifications written in a natural language and to validate whether they correspond to each other or not. I will also argue that it is a very hard problem to generate a good quality text from a formalism. A natural motivation for this work is the fact that it is a normal practice in industry to write specifications in natural language. In a similar way, all the standards such as RFCs, ISO, ANSI, patents are written in plain natural language. Therefore this resource has an immediate usability in the industry. It will help to overcome the difficulties that prevent software designers & engineers to use formal methods. This Project has its usefulness in formal methods, Human computer interaction, natural language technology and Mathematical teaching.

Inspired by the unanswered question: why eukariotic DNA has a so large non-coding fraction, we try computer simulations with an evolutionary toy model based on Turing machines. This lead us to describe how the fitness of an ``organism'' and the evolution rate relate to the coding/non-coding ratio. The evolutionary advantage of having a large reservoir of non-coding states is emphasised.

En 2004, G. Gonthier a achevé la preuve formelle du théorèmes de quatre couleurs dans l'assistant à la preuve Coq. L'une des clefs de cette réussite est une utilisation intensive de techniques dites de ``réflexion à petite échelle'', soutenues par une extension du langage de tactiques de Coq. Cette extension, ainsi qu'une partie des bibliothèques développées pour la preuve, sont actuellement utilisées comme point de départ pour le projet de formalisation d'une somme substantielle de théorie des groupes finis, dans l'équipe Composants Mathématiques du centre commun INRIA MSR. Il s'agit cette fois de construire une preuve formelle du théorème de Feit-Thompson (1963), qui constitue un passage a l'échelle significatif pour les contributions issues de la preuve du théorèmes des quatre couleurs. Le but de cette expérience est de comprendre comment mener à bien le développement de bibliothèques de mathématiques formalisées, réutilisables et combinables. Nous tenterons d'abord de dégager les difficultés que présente la réalisation de telles bibliothèques, puis de présenter les solutions qui se dégagent de la preuve du théorème des quatre couleurs, et en particulier le langage de tactiques ssreflect. Enfin, si le temps le permet, nous présenterons brièvement les nouvelles questions soulevées par la formalisation de théorie des groupes finis, ainsi que l'état actuel de cette construction.

Pierre Hyvernat (LAMA) prendra environ 1/2h pour poser une question sur laquelle il bute actuellement. Ensuite, séance lecture sur le papier de Krivine et Legrandgérard, téléchargeable ici:

http://www.pps.jussieu.fr/ krivine/articles/Network.pdf.

Résumé du papier: On décrit une relation remarquable entre la notion de formule valide du calcul des prédicats et la spécification de protocoles réseau. On donne des exemples comme l'acquittement d'un ou plusieurs paquets.

Nous proposons une extension du lambda-calcul traditionel dans lequel les termes sont utilisés pour manipuler un artefact de calcul externe (bits quantiques, brins d'ADN etc.). Nous introduisons deux nouveaux lieurs de noms : $nu$ et $rho$. $new x.M$ dénote un terme dans lequel $x$ est une référence abstraite, alors que dans $rho y.M$, $y$ est une référence conrète. Nous montrons les différences de ces deux lieurs par rapport au $lambda$ en termes d'$alpha$ équivalence, d'extrusion, de garbage collection etc. Nous illustrons l'intérêt de ces nouveaux lieurs en développant un langage de programmation quantique typé dans lequel la duplication de qbits abstrait est permise alors que la duplication de qbits concrets est interdite. Cela permet un langage plus expressif que ceux proposés dans la littérature actuelle.

Urdu is a challenging language because of, first, its Perso-Arabic script and second, its morphological system having inherent grammatical forms and vocabulary of Arabic, Persian and the native languages of South Asia. This paper describes an implementation of the Urdu language as a software API, and we deal with orthography, morphology and the extraction of the lexicon. The morphology is implemented in a toolkit called Functional Morphology, which is based on the idea of dealing grammars as software libraries. Therefore this implementation could be reused in applications such as intelligent search of keywords, language training and infrastructure for syntax. We also present an implementation of a small part of Urdu syntax to demonstrate this re-usability.

Je présente la preuve de Prawitz de la faible normalisation de l'élimination des coupures en déduction naturelle propositionnelle intuitionniste avec disjonction. On déduit ensuite la propriété de la sous-formule et la décidabilité de ce système. Il s'agit du travail fait lors de mon stage M1.

On présentera (il s'agit d'un travail commun avec Olivier Laurent) une version "pure" (au sens du lambda-calcul "pur") des réseaux d'interaction différentiels avec connecteurs multiplicatifs et exponentiels, et on donnera une traduction dans ces réseaux du pi-calcul privé - de la somme - de la récursion - de la réplication - du match et du mismatch On verra que cette traduction respecte, en un certain sens, la dynamique du pi-calcul.