J'expliquerai comment, suivant une idée remontant au moins à Bombieri et Pila, on peut trouver une courbe algébrique plane A qui contient tous les points rationnels (de hauteur bornée) d'une courbe plane transcendante X donnée. Si le temps le permet j'expliquerai comment on peut ensuite trouver des conditions sur f, quand X est le graphe de f, pour que l'intersection de A et de X soit un nombre de points polynomialement borné en le degré de A. --
We solve numerically the Serre-Green-Naghdi (SGN) system using stable, accurate and efficient fully discrete numerical schemes based on Galerkin/finite element methods. After reviewing the properties of the SGN system we present the convergence properties of the numerical scheme. A detailed study of the dynamics of the solitary waves of the SGN system over variable bottom topographies is also presented. It is noted that the Galerkin/finite element method is the only method analytically proven to be convergent for the numerical solution of the Serre equations so far.
Je vais présenter une borne pour le nombre de F_q[t]-points de degrés bornés dans une variété définie sur Z[t], uniforme en q. Cela généralise un résultat de Sedunova pour q fixé. La preuve repose sur des paramétrisations uniformes non-archimédiennes à la Yomdin-Gromov . Celles-ci généralisent les paramétrisations de Cluckers-Comte-Loeser. C’est un travail en commun avec Raf Cluckers et François Loeser.
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Travail en collaboration avec Marta Agustín Vicente. L'objet de cet exposé est l'étude des nombres de Betti de la cohomologie d'intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d'une action d'un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d'éventails divisoriels (notion généralisant le passage d'un éventail de cones rationnels à une variété torique). Cette description encode la donnée d'un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d'une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l'application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l'eventail divisoriel associé.
Recent works have indicated the potential of using curvature as a regularizer in image segmentation, in particular for the class of thin and elongated objects. These are ubiquitous in biomedical imaging (e.g. vascular networks), in which length regularization can sometime perform badly, as well as in texture identification. However, curvature is a second-order differential measure, and so its estimators are sensitive to noise. State-of-art techniques make use of a coarse approximation of curvature that limits practical applications. In this talk I propose the use of multigrid convergent estimators instead, and I will show a new digital curvature flow derived from it that mimics continuous curvature flow. Finally, an application as a post-processing step to a variational segmentation framework is presented.
Les E-fonctions sont des séries entières à coefficients de Taylor algébriques à l'origine (vérifiant certaines conditions de croissance) et solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. Siegel les a introduites en 1929 dans le but de généraliser les propriétés diophantiennes de la fonction exponentielle, qui prend une valeur transcendante en n'importe quel point algébrique non-nul. La situation est plus compliquée en général car une E-fonction peut parfois prendre une valeur algébrique quand elle est évaluée en un point algébrique non-nul. Dans cet exposé, je commencerai par présenter plusieurs résultats diophantiens classiques sur les E-fonctions (Siegel-Shidlovskii, André, Beukers). Puis je présenterai un algorithme qui, étant donnée une E-fonction f(z) en entrée, produit la liste finie des nombres algébriques A tels que f(A) soit également algébrique. C'est un travail en commun avec Boris Adamczewski (CNRS et Université Lyon 1).
Cet exposé s'inspire de la connexion remarquée récemment entre les séries formelles et calculs non-commutatifs et qui permet de retrouver très simplements des résultats de Nisan et d'autres sur les calculs non-commutatifs de polynômes. Je présenterai les résultats de base sous l'angle des séries formelles puis je montrerai l'application aux calculs monotones (commutatifs) et les perspectives et difficultés pour utiliser ces techniques pour des modèles avec moins de restrictions.
En l’absence de potentiel, les équations de Schrödinger non linéaires (NLS) sont des équations résonnantes. En particulier, la théorie des formes normales de Birkhoff ne garantie pas la stabilité des petites solutions de NLS sur des temps très longs. Cependant, sur le tore de dimension 1, la partie cubique de la non-linéarité ne contient aucun terme résonnant non-trivial. En partant de cette observation, on verra comment construire une nouvelle famille de formes normales permettant de conjuguer, sur de gros ensembles de petites fonctions régulières, la dynamique de NLS à une dynamique stable (et intégrable) sur des temps très longs.
La dimension de l'espace des morphismes d'une courbe vers une variété rationnellement connexe augmente avec le degré. Dans certains cas, si on fait tendre ce degré vers l'infini certains invariants se stabilisent. Il est donc naturel de vouloir étudier de manière asymptotique cet espace de morphismes. On voit alors apparaître des principes d'équidistributions. Néanmoins, ces principes sont battus en brèche lorsque le morphisme est factorisable au travers de certains morphismes de variétés. Des invariants introduits par Manin dans un contexte arithmétique permettent de mieux comprendre ce phénomène.
Nous nous plaçons dans le contexte de la résolution à la Puiseux d’équations polynomiales en plusieurs variables. Notre objectif est de comprendre ce qui distingue une série de Puiseux multivariée algébrique (sur $K(x_1,....,x_r)$ le corps des fonctions rationnelles à r variables) d’une série de Puiseux formelle. Plus précisément, nous résolvons les problèmes suivants : - étant donnée une équation polynomiale $P(x_1,....,x_r,y)=0$, donner une formule pour les coefficients d’une série de Puiseux $y(x_1,....,x_r)$ solution en fonction des coefficients de l’équation ; - étant donnée une série de Puiseux algébrique, reconstruire à partir de ses coefficients un polynôme annulateur. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs variables de notre travail sur les mêmes questions pour le cas monovarié. Travail en commun avec M. Hickel (Bordeaux).
La prévention d'une trop grande dispersion de pollens transgéniques est un sujet de grande importance dans l'agriculture moderne. Le mouvement du pollen transgénique se fait en grande partie par des insectes pollinisateurs, dont le plus important est l'abeille domestique, apis mellifera. Dans cet exposé, je vais présenter des modèles mathématiques pour le mouvement des abeilles, et montrer comment ces modèles peuvent nous aider à prédire la dispersion du pollen transgénique.
La sémantique d'un programme est souvent donnée d'une des deux façons suivantes: ou bien comme une fonction mathématique (la fonction qu'il calcule) ou bien par le biais de son execution. La première méthode tend à détruire toute information fine sur le programme (complexité par exemple), alors que la seconde impose un cadre de bas niveau, syntaxique, sans la structure et les propriétés mathématiques donnés par la première. Pour allier les avantages des deux méthodes, de nombreux sémanticiens s'intéressent à représenter les programmes comme des interactions (interactions qui se déroulent entre un programme et son contexte); ceci en permet une compréhension dynamique. Le lambda-calcul est un formalisme standard pour représenter les programmes fonctionnels. Le pi-calcul, lui, fournit un outil pour représenter leurs interactions. Milner a montré en 1990 comment interpréter le lambda-calcul dans le pi-calcul. Plus précisément, il a montré comment interpréter deux stratégies d'évaluations du lambda-calcul, l'appel par nom et l'appel par valeurs. Se pose alors le problème de Full Abstraction: pour quelle notion d'équivalence de programme ces interprétations sont-elles correctes et complètes ? Si le problème a été résolu rapidement pour l'appel par nom, l'appel par valeur pose davantage de problèmes techniques...
On étudie la stabilité d'une famille de solutions stationnaires de l'équation d'Euler dans R^3 qui décrivent des tourbillons à symétrie cylindrique : le champ de vitesse est dans le plan horizontal, et ne dépend que de la distance à l'axe vertical. Ces solutions ont été étudiées notamment par Kelvin et Rayleigh au 19ème siècle, mais les seuls résultats de stabilité obtenus jusqu'ici concernent des perturbations très particulières (bidimensionnelles ou axisymétriques). On donne une condition suffisante sur le profil de vitesse du tourbillon garantissant la stabilité spectrale vis-à-vis de perturbations arbitraires. Il s'agit d'un travail en collaborationa avec Didier Smets
Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d'un solide dans un fluide visqueux incompressible. On s'intéresse ici à l'évolution d'un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d'énergie.
L’inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d’une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, nous expliquerons une preuve d’une conjecture d’Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d’hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge. Les hypersurfaces considérées proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d’hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d’Itenberg, nous développons un analogue réel de l’homologie tropicale et, à l’aide d’une suite spectrale, nous la comparons à l’homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L’homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d’une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l’hypersurface réelle provenant d’un patchwork.
Arnaud Duran vous parlait récemment, entre autres, du système de Green-Naghdi et des difficultés liées à sa résolution numérique. Une stratégie a été récemment proposée par Nicolas Favrie et Sergey Gavrilyuk : il s'agit de résoudre un système approché, qui a l'avantage d'être quasilinéaire hyperbolique (plus d'opérateur d'ordre élevé) et le défaut de mettre en jeu des variables supplémentaires et un paramètre de relaxation. Nous donnerons une justification rigoureuse de cette approche. Il s'agit d'un problème de limite singulière qui serait classique s'il ne dépendait de deux paramètres.