Les théories de la calculabilité (que peut-on calculer ?) et de la complexité algorithmique (quelle est la difficulté intrinsèque d'un problème calculable ?) sont deux piliers de la science informatique. L'objectif de cet exposé est de donner un aperçu des concepts, des principaux résultats et des grands problèmes ouverts de ces théories. Selon le temps, nous parlerons de fonctions récursives, d'ensembles diophantiens, de pavages du plan, d'applications affines par morceaux, d'identités polynomiales, etc, avec le secret espoir de convaincre l'auditoire que la notion de calcul est avant tout protéiforme et peut s'immiscer dans de nombreux objets mathématiques ``classiques''.