La transformation de Cremona de l'espace projectif de dimension 3 la plus simple est l'involution S : (x_0 : x_1 : x_2 : x_3) -> (1/x_0 : 1/x_1 : 1/x_2 : 1/x_3) qui est un homéomorphisme en dehors du tétraèdre (x_0x_1x_2x_3 = 0). En étudiant l'action de S sur les surfaces quadriques réelles, nous avons montré que S et ses conjuguées engendrent un sous-groupe dense de Homéo(S^2), le groupe des homéomorphismes de la sphère. Dans cet exposé, nous montrerons que ce résultat de densité s'étend au cas des surfaces non orientables et en particulier comment réaliser « algébriquement » le mapping class group de ces surfaces. Enfin nous expliquerons pourquoi il ne peut y avoir de résultat similaire pour les surfaces orientables de genre supérieur à 2. (Travail en collaboration avec J. Kollár.)