Cette série d'exposés, destinée à un large public, a pour but d'expliquer plusieurs résultats nouveaux obtenus en collaboration avec János Kollár (Princeton).
Ce premier opus sera centré sur les motivations et les résultats dont les énoncés n'appellent pas, ou peu, de technique. On m'a suggéré comme titre « Géométrie algébrique pour les nuls », mais cela m'a semblé trop ambitieux. Nous nous intéresserons aux approximations des applications continues par des applications rationnelles (penser au théorème de densité de Weierstrass sur les polynômes) de la sphère et du tore. Ensuite, nous verrons comment cette question d'approximation change radicalement quand on exige des applications continues (resp. rationnelles) de posséder une réciproque continue (resp. rationnelle).
L'ambition au terme de la série d'exposés est de montrer que l'action des transformations de Cremona sur les points réels des quadriques révèle toute la complexité des difféomorphismes de la sphère, du tore et de toutes les surfaces non orientables. Le résultat principal dit que si X est rationnelle, alors Aut(X), le groupe des automorphismes algébriques, est dense dans Diff(X), le groupe des difféomorphismes de X. Ces groupes sont notamment étudiés pour leurs propriétés dynamiques.