On considère un type de métriques riemanniennes singulières qui apparait naturellement en théorie du contrôle : soient X et Y deux champs de vecteurs sur une variété M de dimension 2. Si X et Y forment partout une famille libre, ils définissent naturellement sur M une métrique riemannienne dont ils forment un champ de bases orthonormées. Quand X et Y ne sont plus partout linéairement indépendants, sous certaines conditions génériques de non intégrabilité de la distribution qu'ils engendrent, ils définissent sur M une métrique sous-riemannienne sur une distribution de rang non constant, qu'on peut voir comme une métrique riemannienne singulière. Ces structures font apparaître des phénomènes intéressants, en particulier pour ce qui concerne les liens entre courbure, lieu conjugué et topologie de la variété. Je présenterai, lors de cet exposé, un résultat du type ``formule de Gauss-Bonnet'' démontré par Agrachev, Boscain et Sigalotti et expliquerai les difficultés liées à sa démonstration dans le cas ou la métrique présente des singularités de type Martinet.