Cet exposé, est une partie d’un article en cours, en collaboration avec {\it Latifa Faouzi} (Fes et Casablanca) et se compose de deux parties indépendantes.
PARTIE I: $k$-algèbre libre sur un monoïde.
On considère un corps commutatif $k$ et un monoïde (= demi-groupe commutatif et unitaire) $M$. On désigne par $k[M]$ la $k$-algèbre sur le monoïde $M$, i.e. l’espace vectoriel sur $k$ ayant $M$ comme base, c’est alors aussi un anneau puisque $M$ est stable par produit. L’exemple type étant l’algèbre des polynômes sur $k$. Le corps $k$ étant fixé, on montre plusieurs propriétés de la classe des algèbres sur un monoïde. Par exemple $k[X] x k[Y]$ est une $k$-algèbre libre sur un monoïde. On développe aussi une classe plus large où le produit de deux élements de $M$ est soit $0$, soit un élement de $M$.
PARTIE II: Demi-treillis compact. Dans cette partie, les monoïdes ne sont pas unitaires. On considère un triplet $(L,O,.)$ où $(L,O)$ est un espace compact séparé, $(L,.)$ est un monoïde idempotent (mais sans unité). On suppose que l’application $(x,y) -> x. y$ est continue. En interprétant $x . y$ comme l’infimum de $x$ et de $y$, $(L,.)$ est un (inf-)demi-treillis et $.$ est continue. Noter que $L$ est alors un ensemble ordonné en posant $x \leq y$ ssi $x . y = x$. On montre quelques propriété de cette classe de structures. Par exemple, une telle structure possède un plus petit élément $0$ et toute partie non vide et filtrante supérieurement possède un supremum. La topologie est alors déterminée par l’ordre: une sous-base de la topologie est formée d’élements de la forme $U_x := { y \in L : y \geq x }$ et $L \setminus U_x$ où $x$ est un élément “compact” de $L$. Ces notions de demi-treillis compacts apparaissent lors de l’étude des domaines et des treillis algébriques.
PARTIE III: Le lien. Si on considère le corps $k = {0,1}$ ayant deux éléments et le monoïde $M$ idempotent, alors $k[M]$ est une algèbre de Boole, dont l’espace des ultrafiltres (ou des idéaux maximaux) est un demi-treillis compact et “réciproquement”.
Bibliographie:
[1] Bourbaki N.: Eléments de mathématiques, Algèbre, Chapitres 1--3, Hermann, 1970.
[2] Lang S.: Algebra, Addision-Wiesley Pub, 1970.
[3] Gierz, G., Hofmann K. H., Keimel K., Lawson J. D., Mislove M. and Scott D. S.: Continuous lattices and domains, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 93. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, 591 pp.